Тема 9 Моделювання деталей з формою на основі параметричних поверхонь.

 

1.      Параметричне задання поверхні

При побудові геометричних моделей поверхонь за допомогою ЕОМ у системах автоматизованого проектування часто потрібні числові характеристики, що визначають положення точок і ліній,належать даній поверхні. У ряді випадків це можуть бути координати точок і векторів. Розглянемо один з можливих способів опису поверхні,що дозволяє порівняно просто перетворити геометричну інформацію про будову поверхні в цифрову. Дуже зручною формою задання поверхні є параметрична, коли радіус-вектор R точки M поверхні (рис. 9.1а) визначається вектором-функцією R (u, v) двох скалярних незалежних аргументів u, v, розглянутих в деякійобласті їх зміни:

де x, y, z - координати вектора-функції, також є функціями u, v.

Параметри u і v називаються криволінійними координатамиповерхні. Кожній парі значень u, v з області їх змінивідповідає точка поверхні. Якщо один з параметрів прийняти постійним, наприклад, задатися v = v1, то вектор-функція R = R (u, v1) будеоднієї з так званих координатних ліній.Іншими словами, при фіксованому значенні v і змінному u кінецьвектора R = R (u, v1) опише на поверхні лінію v1 = const. переходячи доіншому значенню v = v2, отримуємо наступну лінію сімейства (v2 = const).

Запишемо рівняння поверхні обертання і покажемо, як його можна використовувати при побудові каркаса поверхні. Розглянемо поверхню, яка утворена обертанням навколо осі z кривої m, розташованої в координатної площині xOz (рис. 9.1б). Іншими словами, нехай заданий меридіан, віднесений до параметру u, і його поточнийрадіус-вектор:

Положення будь-якої точки M на поверхні буде визначати значення параметра u (фіксується точка K на заданій твірній m) і кут v, на який повернулася крива m навколо осі z.

При зміні u кінець вектора u(ρ) = ρ буде переміщатися по меридіану. Вважаючи фіксованим значення параметра u і змінюючи параметр v, отримуємо одну з паралелей поверхні. Координати точки M будуть виражені через u і v наступним чином:

a радіус-вектор точки поверхні прийме вид

Для побудови каркаса поверхні необхідно знати функцію x=f(z), яку іноді можна записати явно, використовуючи параметричне подання меридіана. Значення координати x і буде визначати радіус паралелі, розташованої на рівні z. Якщо вираз виду x=f(z) отримати не вдається, то слід задатися рядом значень u (u1 ≤ u ≤ u2) і обчислити координати x і z.

 

 

Рис. 9.1 Параметричне задання точки на поверхні обертання (а), побудова поверхні обертання (б), параметричне задання сфери (в) і тора (г)

 

2.      Параметричні поверхні обертання

Розглянемо найбільш поширені поверхні обертання з криволінійними твірними.

Сфера утворюється обертанням кола навколо її діаметра. При стисканні або розтягуванні сфери вона перетвориться в еліпсоїди, які можуть бути утворені і при обертанні еліпса навколо однієї з його осей. Якщо віссю обертання є велика вісь еліпса, то еліпсоїд називається витягнутим, а якщо менша, то - стисненим, або сфероїдом. Параметричні рівняння сфери (рис. 9.1в) мають вигляд:

де a, b, c - координати центру сфери; R - радіус сфери; u – кутовий параметр, що фіксує точку на меридіані (-90 ° ≤ u ≤ 90 °); v - кутовийпараметр, що фіксує положення меридіана (0 ≤ v ≤ 360 °).

Тор. Поверхня тора формується при обертанні кола навколо осі, що не проходить через центр кола (рис. 9.1г).Для довільної точки M, що належить поверхні тора, буде справедливою наступна векторна рівність:

де

В результаті отримаємо рівняння

При даному u (0 ≤ u ≤ 360 °) радіус паралелі. KL=R+ρсosu.

Гіперболоїд обертання. Розрізняють одно-і двопорожнинні гіперболоїди обертання, які отримують обертанням гіперболи навколо уявної або дійсної осі.

Поверхня однопорожнинного гіперболоїда може бути утворена і обертанням прямої лінії. Ця поверхня двічі лінійчата, тобто через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходять дві і тільки дві прямолінійні твірні (рис. 9.2).

Рис. 9.2 Параметричні поверхні обертання другого порядку

 

Радіус-вектор r довільної точки поверхні однопорожнинного гіперболоїда (рис. 9.2) можна представити у вигляді

а його координати у вигляді 

де φ - кут нахилу твірної m до осі xOy; v, u - відповідно кутовий і лінійний параметри поверхні (v визначає кут повороту твірної навколо осі i, а лінійний параметр u фіксує точку на m).

Побудова каркасів циліндричної і конічної поверхонь представлена на рис. 9.3, де геометричною частиною визначника циліндричної поверхні є напрямна n і твірна m, а для конічної поверхні - напрямна n і точка S - вершина.

Для побудови каркаса необхідно виділити ряд точок A, B, C, ... на напрямній; через кожну з них провести прямі лінії паралельно твірній m при побудові циліндричної поверхні. При побудові конічної поверхні прямі лінії необхідно провести через точки на напрямній і вершину S.

 

Рис. 9.3 Побудова каркасів циліндричної і конічної поверхонь

 

Циліндр. Параметричне рівняння циліндричної поверхні в векторному записі має вигляд

 де r (u) - поточний радіус-вектор напрямної n, а u - параметр, до якого вона віднесена; l - одиничний вектор прямолінійної твірної m (Рис.); v - лінійний параметр, що фіксує положення точки M на твірній. Відстань CM беремо зі знаком, приймаючи напрямок вектора l за позитивне.

Розглянемо окремий випадок циліндричної поверхні, показаної на рис. . Радіуси-вектори точок, що належать даній поверхні, визначаються рівністю R = ON+NM, якій відповідають параметричні рівняння виду

 де

Конус. Складемо тепер рівняння для радіуса-вектора довільної точки M на довільній твірній конічної поверхні, вершина S якої збігається з початком координат (див. рис.). Оскільки вектори OK і OM колінеарні, то 

де OK=r(u) - радіус-вектор направляючої n.

Від цієї форми рівняння конічної поверхні можна перейти до координатної, а саме:

 де f1 (u), f2 (u), f3 (u) - координати вектора-функції r (u).

В окремому випадку рівняння, що описують поверхню конуса обертання (рис.), записуються у вигляді

де H - висота конуса; θ - кут між твірною і віссю конуса; u, v -криволінійні координати .