Тема 8 Аналітичні криві. Деталі на основі просторових кривих

 

1.      Параметричне та непараметричне представлення кривих

Усі сучасні САПР дозволяють використовувати в якості направляючих для протягування або обмеження форми деталей плоскі та просторові криві.

Математично крива може бути представлена в параметричній або непараметричній формі. Непараметрична крива описується в вигляді явної і неявної функції. Для плоскої кривої явний непараметричне вираз має вигляд

У цій функції для кожного значення x існує тільки одне значення y, тому явна функція не може представляти замкнуті або багатозначні криві. Це обмеження можна подолати, використавши неявну функцію

Точка на неявному криволінійному сегменті може бути визначена обчисленням кореня алгебраїчного рівняння. визначення коренів неявних кривих іноді вимагає громіздких розрахунків.

На додаток до простих кривих параметрична функція придатна для представлення замкнутих кривих і кривих з безліччю значень при заданій величині незалежної змінної.

Порівняння параметричного і непараметричного описів дуги окружності показано на рис. 8.1. Звідси бачимо, що за допомогою параметричних функцій можна забезпечити поліпшення розподілу точок на кривій і таким чином отримати краще графічне подання. Чверть кола, показана на рис. 8.1а, представляється непараметричною функцією.

Для отримання точок на дузі використані рівні прирости по x. Ця функція незручна для обчислень, оскільки необхідно брати квадратний корінь. Крім того, отримуються погані результати через те, що довжини дуг між сусідніми точками неоднакові. Рис. 8.1б отримано на основі тієї ж функції, заданої параметрично у вигляді

Результат тут хороший, оскільки як довжини дуг між сусідніми точками рівні. Однак обчислювальна процедура неефективна, тому що для визначення тригонометричних функцій потрібно кілька операцій.

На рис. 8.1в показаний інший варіант параметричного подання заданого співвідношення:

де

При такому виборі потрібно затратити незначний час на обчислення, проте довжини дуг виходять неточно рівними між собою.

Рис. 8.1 Непараметричний (а) та параметричний (б, в) опис дуги

Найбільш поширеними плоскими кривими є конічніперерізу, вони знаходять широке застосування в додатках машинної геометрії і графіки. Наведемо деякі корисні залежності заналітичної геометрії.

Перетин площиною правильного кругового конуса в залежності від положення площини даєрізні конічні перетину - окружність, еліпс, парабола, гіпербола.Всі конічні перетину можуть бути описані неявно кривою другого ступеня:

 Визначивши постійні коефіцієнти a, b, c, d, e, f, можна отриматирізні плоскі криві. Зокрема, крива є еліпсом, якщо ; якщо , то це парабола; в випадку отримується гіпербола за умови, що, в іншому випадку крива вироджується в пару прямих ліній.

В аналітичному вигляді коло з центром (xc, yc) і радіусом r задається рівнянням наступного виду (рис. 8.2а):

Якщо центр кола збігається з початком координат, то одержимо канонічне рівняння кола:

Параметрична форма завдання кола з центром (xc, yc) ірадіусом r виглядає наступним чином:

де

Аналітична форма задання визначає точки кола в неявному вигляді і не дає чіткого уявлення про розташування кола відносно системи координат. Навпаки, використовуючи параметричну форму задання кола, можна визначити точки кола для будь-якого значення параметра t, що знаходиться в межах від 0 до 2π. Крім того, параметрична форма встановлює певнуо рієнтацію кола, яка відповідає зростаючим значенням параметра t.

До недоліків параметричного задання слід віднести його неоднозначність. Так як параметр вибирається в значній мірі довільно, то крива не має єдиного параметричного подання.

Рис. 8.2 Аналітичний спосіб задання кола (а), еліпса (б), парабол (в,г)

 

2.      Створення кривих на основі рівнянь

 

За допомогою інструменту «Крива, що керується рівнянням», можна створити криву, визначивши для неї рівняння.

При створенні кривих, що керуються рівнянням, значення для використання повинні бути подані в радіанах.

Існує два типи представлення кривих на основі рівняння:

Точне - дозволяє визначити значення X для початкової та кінцевої точок діапазону. Значення Y розраховуються за діапазоном значень X.

Параметричне - дозволяє визначити значення T для початкової та кінцевої точок діапазону. Користувач визначає рівняння для значень X і друге рівняння для значень Y. Обидва рівняння вирішуються за діапазоном значень T.

В більшості САПР в тривимірних ескізах допускається будувати тільки параметричні криві. Для визначення кривої, не обмеженої взаємозв'язками, можна задати відповідну комбінацію перерахованих нижче параметрів.

Рівняння:

Визначте рівняння кривої, де Y є функцією X. Або визначте рівняння кривої, де X, Y і Z є функціями T. Z використовується тільки в тривимірних ескізах.

Якщо користувач вводить рівняння з неприпустимим синтаксисом, рівняння буде відображено червоним кольором. Можна використовувати будь-які функції, підтримувані в діалоговому вікні Рівняння. Також в рівняннях можна використовувати розміри елементів, властивості документів і налаштовані користувачем властивості. Наприклад: x^3/"D1@Sketch5", x^3/"Length", І (параметричні рівняння)

Параметри:

Задайте діапазон значень для Х, в якому 1 - початкова точка, а 2 - кінцева точка (наприклад, X1=0 і X2=2*pi). Також можна використовувати властивості документів для діапазону значень.

Не допускається використання глобальних змінних безпосередньо в кривих, керованих рівняннями. Однак, можна створити глобальну змінну і асоціювати її з розміром, а потім використовувати розмір в рівнянні для кривої.

Для керування обертанням кривої, можна перетягнути криву, додати взаємозв'язок і т.д. Крива поводиться як інші жорсткі криві або блоки.

Для масштабування кривої необхідно взяти до уваги масштаб в рівнянні. У прикладі нижче можна помножити X і Y на 10. Для установки початкових і кінцевих координат для параметричних кривих початкові і кінцеві точки початково розглядаються як значення X і Y в T1 і T2. Криву можна перетворити шляхом додавання взаємозв'язків або розмірів у початкову та кінцеву точки до інших ескізами або геометрії моделі.

Приклад точного рівняння:

Приклад параметричного рівняння:

Приклад тривимірної кривої, керованої рівнянням:

3.      Сплайни

Spline - сплайн. Крива, четверта похідна якої дорівнює нулю. Широко поширений формат представлення даних. Кривизна контролюється розкидом контрольних точок. Для побудови використовуються різні типи кубічних кривих.

Bezier curve - крива Безьє. Гладка крива, що складається з серій по чотири контрольні точки, які різною мірою визначають її напрямок. Для цього типу зовсім необов'язково повинна виконцватись умова проходження кривої через всі контрольні точки. Дві точки визначають її напрямок, а дві інші є кінцевими точками. Рівняння сплайна в канонічному вигляді виглядає таким чином.

де: t - змінна приймає значення від 0 (початок кривої) до 1 (кінець кри-вої); 

ax, bx, cx, ay, by, cy - коефіцієнти рівняння. Визначаються з координат чотирьох точок, які визначають напрям кривої;

X0, Y0 - координати початкової точки сплайна.

де: X3, Y3 - координати кінцевої точки сплайна;

 X1, Y1 - координати першої керуючої точки сплайна;

 X2, Y2 - координати другої керуючої точки сплайна.

B-spline (Bezier-spline) Один з основних способів, що використовуються в CAD системах для математичного подання гладких кривих. Крива формується по відношенню до 3D-полілінії (тобто ламаної лінії). B-spline завжди починається від першої контрольної точки і закінчується в останній, завжди стосується цієї полілінії в цих точках, хоча в цілому не проходить через інші контрольні точки. Прикладом можуть служити сплайни, використовувані в системі Pro / ENGINEER (рис. 8.3).

Рис. 8.3 Приклад побудови сплайну в Pro / ENGINEER (зліва) та SolidWorks (справа)

 

Як вже говорилося, поліноміальна крива, задається набором визначальних точок і представляє рівняння порядку на одну степінь менше кількості точок, що враховуються. Криві Безьє записуються в пам'яті комп'ютера у вигляді математичних формул, тому геометрія, отримана за допомогою цих кривих, займає малий об'єм пам'яті.

 C-spline Сплайн, який утворюється шляхом проходження через всі контрольні точки. Збіг з контрольними точками більш явне, ніж у кривих Bezier, так як ці точки задаються безпосередньо, а не через тангенціальні полілінії. Сплайни такого типу застосовуються при проектуванні в системі SolidWorks (рис. 8.3).

NURBS - Non-Uniform Rational B-Spline. Неоднорідний раціональний B-spline. Неоднорідний - означає, що різні області об'єктів мають різні властивості, значення яких не рівні між собою. Раціональний означає, що об'єкт NURBS може бути описаний за допомогою математичних формул. Відмінними характеристиками є: формулювання, що об'єднує параметричні криві і поверхні, що дозволяє одноманітно представляти B-spline, криві Безьє, криві і поверхні канонічного виду (рис.).

Рис. 8.3 NURBS поверхня

 

Криві, що визначаються математикою NURBS, є сплайнами. Контрольні точки сплайнів визначають кривизну геометрії поверхні. Кожна контрольна точка формує поверхню тільки в обмеженій області. NURBS використовує математичні алгоритми, які дозволяють віртуально задати будь-яку поверхню або криву як одне рівняння (шматкові поліноми).